MECÂNICA ATÔMICA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA

EQUAÇÃO DE ONDAS DE GRACELI.

G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ψ μ / h/c .

G = OPERADOR DE GRACELI EM ESTADOS QUÂNTICOS QUÍMICO RELATIVÍSTICOS.

E = ENERGIA DO SISTEMA DOS ESTADOS E SEUS POTENCIAIS DE INTERAÇÕES DE CAMPOS E ENERGIAS E TRANSFORMAÇÕES.

ψ = função de ondas.

μ = potencial químico.

h = constante de Planck.

c = velocidade da luz.

[ξ ]= interações das forças fundamentais = eletromagnética, forte e fraca.

[,ς] = valência, distribuição eletrônica, níveis e subníveis de energia, estado molecular e de interações entre partículas, potencial químico dos elementos químicos, potencial de interações e transformações entre campos e partículas, potencial de transformações de elétrons, átomo, e elementos químicos, e outros.

EQUIVALÊNCIA GRACELI ONDAS - ENERGIA.

G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ψ μ / h/c .

ESTATÍSTICA GRACELI.

1 / G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ψ μ / h/c [-1] .

em que $g_{s}$ é a degenerescência quântica do estado $s$ , $\epsilon _{s}$ é a energia do estado $s$ , $\mu$ é o potencial químico, e $\beta =1/k_{B}T$ , em que $k_{B}$ é a constante de Boltzmann[1]

o modelo atômico de Graceli. e mecânica quântica atômica relativista Graceli.

ψ = função de ondas.

μ = potencial químico.

h = constante de Planck.

c = velocidade da luz.

[ξ ]= interações das forças fundamentais = eletromagnética, forte e fraca.

/ ψ μ / h/c

ESPALHAMENTO GRACELI.

$\mu _{s}=\left({\frac {\sigma _{s}}{\rho }}\right)$ G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ψ μ / h/c .

Coeficiente de espalhamento

O coeficiente de espalhamento μs [cm−1] descreve um meio que contém muitas partículas espalhadoras em uma concentração descrita por uma densidade volumétrica ρ [cm3]; o coeficiente de espalhamento é essencialmente a seção de choque σs por unidade de volume do meio.[2][3]

$\mu _{s}=\left({\frac {\sigma _{s}}{\rho }}\right)$ G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ψ μ / h/c .

O recíproco do coeficiente de espalhamento pode ser entendido como a distancia média que a partícula viaja antes de interagir com o meio, ou seja, ser espalhado.

TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmica Força nuclear forte Glúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmica Força eletromagnética Fóton10391/r2infinitoFlavordinâmica Força nuclear fraca Bósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmica Força gravitacional gráviton101/r2infinito.

Uma força fundamental é um mecanismo pelo qual as partículas interagem mutuamente, e que não pode ser explicado por nenhuma força mais fundamental. Cada fenômeno físico observado, desde uma colisão de galáxias até quarks agitando-se dentro de um próton, pode ser explicado por estas interações. Devido a sua importância fundamental, a compreensão destas interações ocupou a atenção dos físicos por meio século e continua ocupando até hoje.

Interação nuclear forte.

Tradicionalmente, o físico moderno tem listado 4 interações: gravidade, eletromagnetismo, a força nuclear fraca, e a força forte. Suas magnitudes e comportamentos variam muito, como pode ser visto na tabela abaixo. Ainda, existe uma crença muito forte de que 3 destas interações (eletromagnetismo, força nuclear fraca e força forte) sejam a manifestação de uma única interação, mais fundamental, tal como a eletricidade e o magnetismo são agora entendidos como dois aspectos de uma interação eletromagnética. Eletromagnetismo e forças nucleares fracas têm se mostrado como dois aspectos da força eletrofraca. De forma mais especulativa, a força eletrofraca e a força nuclear forte podem vir a ser combinadas usando as teorias da grande unificação. Como combinar a quarta interação, a gravidade, com as outras três ainda é um tópico para a pesquisa em gravitação quântica.

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

Estas interações são algumas vezes chamadas de "forças fundamentais", embora muitos achem que esta terminologia seja enganosa porque uma delas, gravidade, não é totalmente explicada por uma "força" no sentido newtoniano: nenhuma "força gravitacional" está atuando à distância para levar um corpo a se acelerar (como era o que se acreditava até o século anterior com a teoria da gravitação newtoniana). Ao invés disto, a relatividade geral explicou a gravitação pela a curvatura do espaço-tempo (composta da dilatação gravitacional do tempo e da curvatura do espaço).

A visão da mecânica quântica moderna das três forças fundamentais (todas, exceto a gravidade) é que as partículas da matéria (férmions) não se interagem mutuamente mas pela troca de partículas virtuais (bósons) chamadas de condutores de interação ou mediadores de interação. Esta dupla de matéria (férmions) com as partículas mediadoras (bósons) são entendidas como sendo resultado de alguma simetria fundamental da natureza.

Na física atômica, o átomo de Bohr é um modelo que descreve o átomo como um núcleo pequeno e carregado positivamente cercado por elétrons em órbita circular.[1]

Ernest Rutherford, no início do século XX, realiza o experimento conhecido como espalhamento de Rutherford ,[2] no qual ele incidiu um feixe de partículas alfa (α) sobre uma folha de ouro e observou que, ao contrário do que era esperado - que as partículas deveriam ser refletidas pelos átomos de ouro considerados maciços até então -, muitas partículas atravessaram a folha de ouro e outras sofreram desvios. A partir da análise dessa experiência, afirmou que átomos eram constituídos de uma nuvem difusa de elétrons carregados negativamente que circundavam um núcleo atômico denso, pequeno e carregado positivamente.[1]

A partir dessa descrição, é fácil deixar-se induzir por uma concepção de um modelo planetário para o átomo, com elétrons orbitando ao redor do "núcleo-sol". Porém, a aberração mais séria desse modelo é a perda de energia dos elétrons através da radiação síncrotron: uma partícula carregada eletricamente ao ser acelerada emite radiações eletromagnéticas que têm energia; fosse assim, ao orbitar em torno do núcleo atômico, o elétron deveria gradativamente emitir radiações e cada vez mais aproximar-se do núcleo, em uma órbita espiralada, até finalmente chocar-se contra ele. Um cálculo rápido mostra que isso deveria ocorrer quase que instantaneamente.

Postulado de Bohr

Através das descrições quânticas da radiação eletromagnética propostas por Albert Einstein e Max Planck, o físico dinamarquês Niels Bohr desenvolve seu modelo atômico a partir de quatro postulados:[3]

Os elétrons que circundam o núcleo atômico existem em órbitas que têm níveis de energia quantizados.
A energia total do elétron (cinética e potencial) não pode apresentar um valor qualquer e sim, valores múltiplos de um quantum.[1]
Quando ocorre o salto de um elétron entre órbitas, a diferença de energia é emitida (ou suprida) por um simples quantum de luz (também chamado de fóton), que tem energia exatamente igual à diferença de energia entre as órbitas em questão.
As órbitas permitidas dependem de valores quantizados (bem definidos) de momento angular orbital, L, de acordo com a equação

$\mathbf {L} =n\cdot \hbar =n\cdot {h \over 2\pi }$ G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ψ μ / h/c .

onde n = 1, 2, 3, ... é chamado de número quântico principal e h é a constante de Planck.[4]

A regra 4 afirma que o menor valor possível de n é 1. Isto corresponde ao menor raio atômico possível, de 0,0529 nm, valor também conhecido como raio de Bohr. Nenhum elétron pode aproximar-se mais do núcleo do que essa distância.

O modelo de átomo de Bohr é às vezes chamado de modelo semi-clássico do átomo, porque agrega algumas condições de quantização primitiva a um tratamento de mecânica clássica. Este modelo certamente não é uma descrição mecânica quântica completa do átomo. A regra 2 diz que as leis da mecânica clássica não valem durante um salto quântico, mas não explica que leis devem substituir a mecânica clássica nesta circunstância. A regra 4 diz que o momento angular é quantizado, mas não diz por quê.

Expressão para o raio de Bohr

Considere o caso de um íon com a carga do núcleo sendo Ze e um eléctron movendo-se com velocidade constante v ao longo de um círculo de raio r com centro no núcleo.[5]

A força de Coulomb sobre o electrão é

$F = \frac{Z.e^{2}}{4\pi\varepsilon_{o}r^2}$ G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ψ μ / h/c .

A força de Coulomb é a força centrípeta. Logo:

$F = \frac{Z.e^{2}}{4\pi\varepsilon_{o}r^2} = \frac{m.v^2}{r}$

Usando a regra de quantização do momento angular de Bohr:

$L=m.v.r=\frac{h}{2\pi}=\hbar$ G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ψ μ / h/c .

Temos para o n-ésimo raio de Bohr:

$r_{n}={\frac {\varepsilon _{o}n^{2}h^{2}}{\pi .mZe^{2}}}$ G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ψ μ / h/c .

E a velocidade do electrão na n-ésima órbita:

$v_{n}={\frac {Z.{e}^{2}}{2\varepsilon _{o}h.n}}$

G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς]

g_{s}

\epsilon _{s}

ψ μ / h/c .

Equação de Rydberg

A equação de Rydberg, que era conhecida empiricamente antes da equação de Bohr, está agora na teoria de Bohr para descrever as energias de transições entre um nível de energia orbital e outro. A equação de Bohr dá o valor numérico da já conhecida e medida constante de Rydberg, e agora em termos de uma constante fundamental da natureza, inclui-se a carga do elétron e a constante de Planck.[1] Quando o elétron é movido do seu nível de energia original para um superior e, em seguida, recua um nível retornando à posição original, resulta num fóton a ser emitido. Usando a fórmula derivada para os diferentes níveis de energia de hidrogênio, determinam-se os comprimentos de onda da luz que um átomo de hidrogênio pode emitir. A energia de um fóton emitido por um átomo de hidrogênio é determinado pela diferença de dois níveis de energia de hidrogênio:[1]

$E=E_f-E_i=R_E \left( \frac{1}{n_{i}^2} - \frac{1}{n_{f}^2} \right) \,$ G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ψ μ / h/c .

onde ni é o nível inicial , e nf é o nível final de energia. Uma vez que a energia de um fóton está

$E=\frac{hc}{\lambda}, \,$

o comprimento de onda do fóton emitido é dada pela

$\frac{1}{\lambda}=R \left( \frac{1}{n_{i}^2} - \frac{1}{n_{f}^2} \right). \,$

Isto é conhecido como a equação de Rydberg, e o R da constante Rydberg é $R_E/hc$ , ou $R_E/2\pi$ em unidades naturais . Esta equação foi conhecida no século XIX pelos cientistas que estudavam a espectroscopia, mas não havia nenhuma explicação teórica para estas equações ou uma previsão teórica para o valor de R, até Bohr. A propósito, a derivação de Bohr da constante Rydberg, bem como o acordo concomitante da equação de Bohr com as experimentalmente observadas linhas espectrais de Lyman ( $n_f = 1$ ), Balmer ( $n_f = 2$ ), e Paschen ( $n_f = 3$ ), e a previsão teórica bem sucedida de outras linhas ainda não observadas, foi uma das razões para o seu modelo ser imediatamente aceito. Para aplicar em átomos com mais de um elétron, a equação de Rydberg pode ser modificada pela substituição de "Z" por "Z - b" ou "n" por "n - b", em que b é uma constante que representa o efeito de triagem devido a outros elétrons. Isto foi estabelecido empiricamente antes de Bohr apresentar seu modelo.[6]

Níveis energéticos dos elétrons em um átomo de hidrogênio

O modelo do átomo de Bohr explica bem o comportamento do átomo de hidrogênio e do átomo de hélio ionizado, mas é insuficiente para átomos com mais de um elétron.

Segue abaixo um desenvolvimento do modelo de Bohr que demonstra os níveis de energia no hidrogênio.

Sejam as seguintes convenções:

1. Todas as partículas são como ondas e, assim, o comprimento de onda do elétron, $\lambda$ , está relacionado à sua velocidade por

$\lambda = { h \over m_e v}$ G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ψ μ / h/c .

onde h é a constante de Planck e me, a massa do elétron. Bohr não tinha levantado esta hipótese porque só depois é que foi proposto o conceito associado a esta afirmação (veja dualidade onda-partícula). Porém, permite chegar na próxima afirmação.

2. A circunferência da órbita do elétron deve ser um múltiplo inteiro de seu comprimento de onda:

$2 \pi r = n \lambda \,$

G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς]

g_{s}

\epsilon _{s}

ψ μ / h/c .

onde r é o raio da órbita do elétron e n, um número inteiro positivo.

3. O elétron mantém-se em órbita por forças eletrostáticas. Isto é, a força eletrostática é igual à força centrípeta ${ k q_e^2 \over r^2} = {m_e v^2 \over r}$ G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ψ μ / h/c .

onde $k = {1 \over 4 \pi \epsilon_0}$ e qe,G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ψ μ / h/c .

a carga elétrica do elétron.

Temos três equações e três incógnitas: v, $\lambda$ e r. Depois de manipulações algébricas para obter v em função das outras variáveis, pode-se substituir as soluções na equação da energia total do elétron:

$E = E_{cinetica} + E_{potencial} = {1 \over 2} m_e v^2 - { k q_e^2 \over r }$

Pelo teorema do virial, a energia total simplifica-se para

$E = - {1 \over 2} m_e v^2$ G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς] $g_{s}$ $\epsilon _{s}$ ψ μ / h/c .

$E _n \,$	$= -2 \pi^2 k^2 \left( \frac{m_e q_e^4}{h^2} \right) \frac{1}{n^2} \,$
	$= \frac{-m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n^2} \,$

G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς]

g_{s}

\epsilon _{s}

ψ μ / h/c .

Ou, depois de substituídos os valores das constantes:[7]

E_{n}={\frac {-13.6\ \mathbf {eV} }{n^{2}}}\,

G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς]

g_{s}

\epsilon _{s}

ψ μ / h/c .

Assim, o menor nível de energia do hidrogênio (n = 1) é cerca de -13.6 eV. O próximo nível de energia (n = 2) é -3.4 eV. O terceiro (n = 3), -1.51 eV, e assim por diante. Note que estas energias são menores que zero, o que significa que o elétron está em um estado de ligação com o próton presente no núcleo. Estados de energia positiva correspondem ao átomo ionizado, no qual o elétron não está mais ligado, mas em um estado desagregado.

O modelo atômico de Bohr pode ser facilmente usado para a composição do modelo atômico de Linus Pauling. Apenas somando as camadas e as colocando na ordem de Pauling.

Frequência

A frequência orbital[5]

$f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{v}{2\pi.r}$ (X)[ξ ] [,ς] ψ μ / h/c .

Onde $\omega$ é a velocidade angular orbital do elétron.

$\frac{ke^2}{r^2}=\frac{m.v^2}{r}\Rightarrow \; m.v^{2} = \frac{ke^2}{r}$

A partir da Equação - acima - do movimento orbital mantido pela força de Coulomb acima temos

$\frac{v}{r}=\sqrt{\frac{k.e^2}{m.r^3}}$ [ξ ] [,ς] ψ μ / h/c .

Substituindo esta expressão na Equação (X) temos:

$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k.e^2}{m.r^3}}$ (Z) [ξ ] [,ς] ψ μ / h/c .

Para o átomo - $H f = 7 x 10^{15} Hz$ [ξ ] [,ς] ψ μ / h/c ., a qual está na região ultravioleta do espectro electromagnético.

Se o elétron irradia, a energia E irá decrescer tornando-se cada vez negativa e a partir da Equação do raio da órbita r também diminui. O decréscimo em r na Equação (Z), provoca um aumento na frequência f.

De modo que temos um efeito de pista que quando a energia é irradiada, E diminui, o raio orbital r diminui, a qual por sua vez causa um aumento da frequência orbital f e aumentando continuamente a frequência irradiada.

Este modelo planetário prevê que o electrão se mova em espiral para dentro em direção ao núcleo, emitindo um espectro contínuo. Calcula-se que este processo não dure mais do que $1 \times 10-8 s$ , um tempo muito curto na verdade.

Em física, a dispersão de Rutherford é um fenômeno que foi explicado por Ernest Rutherford em 1909,[1] e levou ao desenvolvimento da teoria orbital do átomo. É agora explorado pela técnica de análise de materiais espectrometria de dispersão de Rutherford. A dispersão de Rutherford é também referida às vezes como dispersão de Coulomb porque baseia-se em forças eletrostáticas (Coulomb). Um processo similar provou o interior do núcleo nos anos 1960, chamado dispersão profunda inelástica.

Destaques da experiência de Rutherford

Um feixe de partículas alfa é direcionado a uma folha de ouro fina.
Muitas das partículas passaram através da película sem sofrer desvio.
Outras foram desviadas por diversos ângulos.
Algumas inverteram o sentido do movimento.

A partir destes resultados, Rutherford concluiu que a maioria da massa era concentrada numa região minúscula, positivamente carregada (o núcleo), rodeada por electrões. Quando uma partícula alfa (positiva) se aproximava o suficiente do núcleo, era fortemente repelida.[2] O pequeno tamanho do núcleo explicou a pequena quantidade de partículas alfa que foram repelidas em ângulos maiores. Rutherford demonstrou usando o método abaixo, que o tamanho do núcleo era inferior do que cerca de $\scriptstyle 10^{-14}$

Teoria de Dispersão

Geometria de dispersão de Rutherford.

Principais pressupostos:

• Colisão entre uma carga pontual, mais um núcleo pesado com carga Q=Ze é um projétil leve com carga q=ze é considerada como sendo elástica.

• Momento e energia são conservados.

• As partículas interagem através da força de Coulomb.

• A distância vertical onde o projétil se encontra a partir do centro do alvo, o parâmetro de impacto b , determinam o ângulo de dispersão θ.

A relação entre o ângulo de dispersão θ, a energia cinética inicial

$E=z{\frac {1}{2}}m.v_{o}^{2}$ [ξ ] [,ς] ψ μ / h/c .

e o parâmetro de impacto b é dado pela relação

$b={\frac {zZ}{2K}}.{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\text{cot}}{\Bigg (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigg )}$ (1,1) [ξ ] [,ς] ψ μ / h/c .

onde z = 2, para partículas-α e Z = 79 de ouro.

Dedução da Transversal Diferencial

Na Figura , uma partícula que atinge o anel entre b e b + db é desviada num ângulo sólido dΩ entre θ e θ + dθ.

Por definição, a secção transversal é a constante de proporcionalidade

$2\pi b.db=-\sigma (\theta ).2\pi .\operatorname {sen} \theta .d\theta$ [ξ ] [,ς] ψ μ / h/c .

então

$d\sigma =2\pi b|db|={\Bigg (}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}{\Bigg )}.d\Omega$ (1,2) [ξ ] [,ς] ψ μ / h/c .

onde $d\Omega =2\pi .\operatorname {sen} \theta .d\theta$

A seção transversal diferencial torna-se então

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {2\pi b|db|}{2\pi .\operatorname {sen} \theta .d\theta }}$ (1,3) [ξ ] [,ς] ψ μ / h/c .

A partir da Equações 1,1 e 1,3 nós temos

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\Bigg (}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\Bigg )}^{2}{\Bigg (}{\frac {qQ}{4K_{\alpha }}}{\Bigg )}^{2}.{\frac {1}{\operatorname {sen} ^{4}}}{\Bigg (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigg )}$ (1.4) [ξ ] [,ς] ψ μ / h/c .

A Eq.1.4, é chamada seção transversal diferencial para a dispersão de Rutherford.

Nos cálculos acima, considera-se apenas uma única partícula alfa. Num experimento de dispersão, é preciso considerar vários eventos de dispersão e medir-se a fracção de partículas desviadas num determinado ângulo.

Para um detector em um ângulo específico em relação ao feixe incidente, o número de partículas por unidade de superfície, colidindo o detector, é dado pela fórmula de Rutherford:

$N(\theta )={\frac {N_{i}.nLZ^{2}k^{2}.e^{4}}{4.r^{2}k.E^{2}\operatorname {sen} ^{4}{\Bigg (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigg )}}}$ [ξ ] [,ς] ψ μ / h/c .

Verificação da fórmula de Rutherford

Onde:

Ni = número de partículas alfa incidentes;

n = átomos por unidade de volume no alvo;

L = espessura do alvo;

Z = número atómico do alvo;

e = carga electrónica;

k = constante de Coulomb;

r = distância entre o alvo e o detector;

KE = energia cinética das partículas alfa;

θ = ângulo de dispersão.

A variação prevista, de partículas alfa detectadas, com ângulo é seguida de perto podados do contador de Geiger-Marsden, mostrados na Figura abaixo.

Quando um alvo é um conjunto de vários centros espalhadores cujas posições relativas variam de forma imprevisível, é costumeiro que se pense em uma equação de alcance cujos argumentos tomem diferentes formas em diferentes áreas de aplicação. O caso mais simples considera uma interação que remove partículas de um "feixe não espalhado" a uma taxa uniforme que é proporcional ao fluxo incidente $I$ de partículas por unidade de área por unidade de tempo, ou seja, que

{\frac {dI}{dx}}=-QI\,\!

G ψ = E ψ = [ξ ] [,ς]

g_{s}

\epsilon _{s}

ψ μ / h/c .

onde "Q" é um coeficiente de interação e "x" é a distância viajada no alvo.

A equação diferencial ordinária de primeira ordem acima tem soluções da forma:

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